Как доказать неполучение электронных писем от организации, если ее сотрудники якобы их отправляли?

Да — такое может быть. Настройки почтовых серверов могут конфликтовать друг с другом, тем более если письма отправляются с корпоративных адресов. Например в общепринятых почтовых серверах (Яндекс, Gmail Mail и Рамблер) используются универсальные почтовые настройки и они не всегда воспринимают входящую почту, иногда воспринимают ее как СПАМ и  отправляют в соответствующую папку «спам» вашего ящика. В описанном Вами случае проблема скорее всего на стороне отправителя, по всей вероятности он отправляет письма с корпоративного сервера. В любом случае Вы можете обратиться в службу поддержки вашей почтового сервиса — они протестируют и подскажут.

Касательно доказательств отсутствия писем — можно сделать т.н. скриншоты экрана в папке входящих писем и в папке удаленных писем — это будет являться надлежащим доказательством, что Вы этих не получали.